宇宙的時空是非常複雜的，不承認其它空間的存在，其實是非常短視的

假設烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜提前跑了一段，那麼，當阿基里斯到達烏龜的起跑點時，烏龜也爬了一段距離；當阿基里斯跑完這一段距離時，烏龜又往前跑了一段；如此直至無窮。所以阿基里斯永遠追不上烏龜…


古希臘的哲學家芝諾（Zeno of Elea, 公元前五世紀）曾提出過四個有名的悖論，龜兔賽跑悖論便源自於其中的第二個，只是將希臘神話中擅跑的英雄阿基里斯換成了兔子。

這個悖論是：假設烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜提前跑了一段，那麼，當阿基里斯到達烏龜的起跑點時，烏龜也爬了一段距離；當阿基里斯跑完這一段距離時，烏龜又往前跑了一段；如此直至無窮。所以阿基里斯永遠追不上烏龜。

人們知道這當然與實際情況不相符合，邏輯論證過程肯定有誤，但到底錯在哪裡呢？這個難題困擾了數學家、哲學家們近兩千年。即使到了現代，也並沒有得到完全的解決。因為該悖論涉及有限和無限的關係，在近代數學產生以前，人們對此是一籌莫展。微積分、無窮級數求和發展起來後，人們便試圖從數學的、物理的、哲學的角度尋求對此問題的解決。我所知道的比較典型的有兩種方法。


無窮級數求和

該悖論將時間和空間看作是無限可分的，阿基里斯追趕烏龜的空間距離被分割成了無窮個點，阿基里斯必須要經過所有的點才能追上烏龜，因此該悖論的關鍵似乎成了能否在有限的時間內經過無窮個點？以有限的時間去完成無限的事是不可能的，這就是悖論產生的原因。第一種解決方法就是通過無窮級數求和證明經歷無窮個點的距離是個有限量。既然是有限的空間距離，阿基里斯就可以在有限的時間裡經歷並追上烏龜了。持這一觀點的人顯然是認為悖論之悖，在於把經歷無限的點與經歷無限的距離混為一談，只要澄清了這一點，悖論就自然消除了。


詭異的時間測度

另一個流行的解釋是認為該悖論使用了兩種不同的時間測度。一個是用普通的鐘，一個是用很特別的「鐘」，就是用阿基里斯每次到達上次烏龜到達的位置作為一個時間單位，以此計時，並稱之為「芝諾時」。在普通的時鐘系統裡，阿基里斯是能夠追上烏龜的，這是常識。但是，在以「芝諾時」計時的時間裡，阿基里斯總是落在烏龜的後面。計算得出，當「芝諾時」趨於無窮求取極限時，阿基里斯正好追上烏龜。追上之後，普通時鐘仍在計時，但「芝諾時」已經無法被定義了。

以上是被多數人所接受的解釋。我個人認為這兩種解釋只不過是將普通人的常識用數學語言和公式表示出來，並煞有介事地證明它是對的，其實還沒有涉及悖論的實質。況且，無窮級數求和、求極限等概念依然只是「逼近、接近」，而非完全「等於」，而芝諾正是採用此方式來說明阿基里斯追不上烏龜。

我覺得，該悖論的前提是時間和空間是無限可分的，也正是由於無限可分才導致悖論。上述兩種解釋也是基於無限可分，才能無窮級數求和、取極限。我認為該前提本身就是錯誤的，所以悖論的論證過程和結論都是錯的。如果阿基里斯追趕烏龜的空間距離不能夠無限地分下去，很容易理解阿基里斯一定能追得上烏龜。這裡就不細談了。

芝諾所提出的第一個悖論是「二分法」，物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，而這個要求可以無限的進行下去；所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者說它根本起動不了。這個悖論的癥結跟上面討論的賽跑悖論是一樣的。


「無窮」的迷思

宇宙的時空是非常複雜的，不同大小的粒子組成了不同的時空，時空的特性與其組成的粒子是有關係的。現代人只相信眼前所見的空間，而不承認其它空間的存在，其實是非常短視的；同時由於侷限於這個空間，人也造出許多臆想的名詞和概念，這些概念其實是錯誤的。比如，無窮大與無窮小，我以為並不存在人所認為的那個無窮大、無窮小的概念。

現在許多人認為粒子是無限可分的，只是目前技術手段沒有那麼高，不能分到更小的微粒。然而，當粒子分解到一定程度的時候，會不會展現出完全不同於我們這個物質空間的狀態，使得「無限可分」的概念無法在現有空間內成形呢？

這就牽扯到多層時空的概念了：當構成空間的粒子分解到一定界線時，再分下去的狀態就要用另外時空的概念來理解，而不能以我們現有物質空間的觀念認定粒子「無限可分」。另外，我覺得在不同空間，小到最小的概念也可能是不一樣的，與組成不同空間的不同粒子大小有關係。如果小於極限粒子大小，那實際上是涉入另外的空間了。因此，「粒子無限可分」是不可能的，人想像的無窮小是不存在的。

現代人很迷信邏輯思辯的能力，其實邏輯思辯是非常有侷限的。如果沒有對事物真正透徹的理解，邏輯思辯就很容易成為詭辯。人在這個空間所能探測到的十分有限，相應地，邏輯能力也很有限。人在探索心的驅使下，經常想入非非，把在這個空間發展起來的概念向外推廣，其實是錯誤的。仔細想一想，我們會發現很多人的概念是不對的。

由烏龜和阿基里斯賽跑的悖論想起以前的神話故事，說看到有修道的人在前面走，看著走得很慢，但別人騎著馬追，卻怎麼也追不上。這與常人認為的快慢的概念不一致，因為修道人走的是另外的空間。

(取材自正見網，2001年8月24日)